Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке.

Способ Гаусса (способ поочередного исключения пе –ременных) при использовании расширенной матрицы системы сводится к получению нулей ниже главной диагонали данной матрицы при помощи эквивалентных преобразований, в большинстве случаев при помощи преобразования 4.

Если в итоге простых преобразований в рас- ширенной матрице системы, до черты (т.е. в основной мат- рице Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке.) выходит матрица треугольного вида, т.е. все элемен- ты ниже главной диагонали равны нулю, а диагональные эле- менты все ненулевые:

,

то рассматриваемая система совместная и определённая, т.е. имеет единственное решение.

Если после преобразований, в какой - или строке матрицы получили до черты все нулевые элементы, а элемент, стоя -щий в той Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. же строке после черты - ненулевой, к примеру

где , то рассматривая система несовместна, т.е. не имеет решений.

Если же после преобразования расширенной матрицы, пос- ле получения нулей ниже главной диагонали в нижней строке основной матрицы осталось больше 1-го ненулевого эле –мента, т.е. основная матрица имеет вид трапеции, к примеру

,

то Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. система имеет нескончаемо много решений.

Разглядим пример решения системы способом Гаусса. Пусть дана система:

Составим расширенную матрицу этой системы:

˜

Поменяем местами первую и третью строчки матрицы:

˜ ˜

При помощи первой строчки приобретенной матрицы получим нули в первом столбце. Для этого первую строчку умножим на (-1) и прибавим к 2-ой строке, и её Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. же умножим на (-2) и приба -вим к третьей строке, Получим новейшую матрицу

˜ ˜

Умножим третью строчку на (-3) и прибавим к 2-ой строке и эту же строчку прибавим к первой строке, получим

˜ ˜

Вторую строчку умножим на (2) и прибавим к третьей

˜ ˜ ˜

Мы разделили последнюю строчку на 47. После это третью строчку умножим на (-29) и Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. прибавим к 2-ой строке и ту же строчку умножим на (6) и прибавим к первой строке:

˜ .

Слева от черты получили единичную матрицу, тогда после черты получено решение данной системы. Таким макаром, Создадим проверку:

Получили тождественные равенства. Как следует, по правде получено решение системы.

Разглядим ещё один пример:

Расширенная матрица этой системы имеет Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. вид:

˜

Умножим первую строчку на (-2) и прибавим к 2-ой и тре -тьей строке, эту же строчку умножим на (-1) и прибавим к четвёртой строке, получим:

˜ ˜

Вторую строчку умножим на (-1) и прибавим к первой строке и вторую строчку просто прибавим к третьей строке:

˜ ˜

Четвёртую строчку разделим на (-2) и поменяем Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. с третьей строчкой:

˜ ˜

После чего получим нули в 3-ем столбце, зачем тре- тью строчку умножим на (-4) и прибавим к первой строке; разум -ножим на (-1) и прибавим к 2-ой строке; умножим на (6) и прибавим к третьей строке. Получим:

˜ ˜ ˜

Мы разделили последнюю строчку на (-7). После чего можем получить нули в четвёртом столбце. Для Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. этого последнюю строчку прибавим к третьей строке; умножим на (-2) и приба- вим к 2-ой строке и, умножив на (-5), прибавим к первой строке. В итоге выходит матрица:

˜ .

Слева, до черты, получили единичную матрицу. Тогда после черты находится решение, т.е.

Подставив эти значения переменных в равенства системы, получим Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. тождественные равенства.

До того как перейти к рассмотрению систем случайной размерности, вернёмся опять к понятию ранга матрицы, вве -дённому в § 3. Приведём утверждение, обосновывать которое мы не будем.

Утверждение. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице, приобретенной в итоге эквивалентных преобразований после получения нулей ниже главной ди- агонали матрицы.

Примеры. Отыскать Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. ранги последующих матриц:

1. ˜

Получим нули в первом столбце. Для этого умножим первую строчку на (-1) и прибавим к 2-ой строке; умножим ту же строчку на (-5) и прибавим к третьей строке и, аналогично, ум- ножим её на (-7) и прибавим к четвёртой строке. Получим:

˜ ˜

Умножим вторую строчку на (-2) и прибавим Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. соответственно к третьей и четвёртой

˜ ˜ .

Как следует ранг этой матрицы .

2. ˜

При помощи первой строчки получим нули в первом столбце. Для этого умножим её на (-2) и прибавим к 2-ой строке, умножим на (-3) и прибавим к третьей и пятой строке, умно- жим на (-1) и прибавим к четвёртой строке. В итоге получим:

˜ ˜

Вторую строчку умножим Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. на (-1) и прибавим к третьей, чет -вёртую строчку умножим на (-4) и прибавим к пятой:

˜ ˜

Пятую строчку умножим на (5) и прибавим к 2-ой и умножим на (2) и прибавим к четвёртой:

˜ ˜

четвёртую строчку умножим на (-3) и прибавим к 2-ой:

˜ ˜ .

Ранг этой матрицы тоже равен .

При исследовании систем важную Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. ролю играет последующая аксиома:

Аксиома (Кронекера – Капелли). Ранг основной матрицы системы не превосходит ранга расширенной матрицы, т.е.

, причём, если , то система совместна, а если , то система несовместна (не имеет решений.

Разглядим пример.

Тогда

˜

Умножим первую строчку на (-2) и прибавим к 2-ой и треть- ей строке; после чего поменяем местами Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. первую и вторую строчки:


˜ ˜ ˜

прибавим к 2-ой, а после чего прибавим к третьей:

˜ ˜

После чего прибавим вторую строчку к третьей и получим матрицу:

˜ .

В итоге получили матрицу, у которой

, как следует, система несовместна. Решений нет.

Если , т.е, если система совместна, то в случае, если - число неведомых, система имеет единственное Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. решение. Если же , то система имеет нескончаемо много решений, при всем этом число свободных переменных (т.е. переменных, через которые можно выразить все другие и которые могут принимать любые значения из огромного количества реальных чисел) , а число ба -зисных переменных (т.е. таких переменных, которые выражаем через свободные) равно Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. .

Разглядим примеры: решить системы уравнений способом Гаусса; отыскать общие и личные решения; сделать проверку.

1.

Запишем расширенную матрицу данной системы:

˜

Уменьшим элементы первого столбца при помощи четвёртой строчки. Для этого умножим её на (-1) и прибавим к первой и 2-ой строке; умножим на (-4) и прибавим к третьей строке и, в конце концов, умножим Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. на (-3) и прибавим к пятой строке.

˜ ˜

Сейчас получим нули в первом столбце. Умножим первую строчку на (-1) и прибавим к третьей и пятой строке; умножим её же на (-2) и прибавим к четвёртой строке. Получим:

˜ ˜

При помощи 2-ой строчки получим нули во 2-м столбце. Для этого умножим её на Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. (7) и прибавим к третьей строке; умножим на (-2) и прибавим к четвёртой строке; умножим на (5) и прибавим к пятой строке:

˜ ˜

Четвёртую строчку умножим на (2) и прибавим к третьей строке и её же просто прибавим к пятой строке:

˜ .

Лицезреем, что в этом случае , потому система совместна, но потому что переменных 4, а Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. ранг матрицы равен 3, то одна переменная свободная, а три базовых. За – пишем полученную систему:

Выберем свободную переменную , тогда из третьего уравнения ; из второго уравнения

из первого уравнения

Таким макаром, общее решение системы имеет вид:

,

т.е. при любом значении мы будем получать решения сис -темы. Это общее решение Задавая какие – или Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. значения по -стоянной , будем получать личные решения. К примеру, при получаем личное решение

Создадим проверку:

Получили тождественные равенства. Аналогично можно полу- чать другие личные решения и делать проверку. К примеру, при : . Подставив эти значения в уравнения системы, опять получим тождес -твенные равенства. Таким же образом, при различных значениях можем получить хоть какое Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. личное решение системы.

Ещё одна система:

2.

Её расширенная матрица имеет вид:

˜

Поменяем местами первую и вторую строчки:

˜ ˜

При помощи первой строчки получим нули в первом столбце. Для этого умножим её на (-3) и прибавим к 2-ой строке; умножим на (-4) и прибавим к третьей строке; умножим на

(-2) и прибавим к четвёртой строке Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке., получим:

˜ ˜

Вторую строчку умножим на (-1) и прибавим к третьей и чет –вёртой, получим

˜ .

Лицезреем, что ранг приобретенной матрицы равен

.

Потому система совместна. Число базовых переменных рав- но рангу матрицы, т.е. две базовые переменные Число сво -бодных переменных равно разнице «число переменных» = 5 минус «ранг матрицы» = 2, т.е 3 свободные переменные Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке..

Запишем полученную систему:

В качестве базовых переменных, если есть возможность, комфортно избрать переменные с единичными коэффициентами, чтоб избежать вычислений с дробными выражениями. Напри- мер, в данном примере, в качестве базовых можем избрать , а другие считать свободными, т.е. положим:

Тогда из второго уравнения:

,

а из первого уравнения:

.

Как следует, общее решение имеет Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. вид:

Запишем личное решение и создадим проверку. К примеру, при получим:

Создадим проверку:

Получили тождественное равенство. Аналогичным образом можно получить хоть какое другое личное решение, к примеру, при получим:

Подставив эти значения переменных в уравнения системы, также получим верные равенства.

ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Раздельно следует выделить Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. огромное количество однородных уравнений, т.е. уравнений вида:

Такие системы всегда совместны, потому что всегда имеется банальное (т.е. нулевое решение ).

Нулевое решение будет единственным, если ранг основной матрицы системы равен числу неведомых, т.е. в случае . Если же , то система имеет нескончаемо много решений.

Разглядим примеры: отыскать фундаментальные Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. системы ре -шений однородных систем линейных уравнений

1.

Для однородных систем нет смысла писать расширенную мат- рицу, потому что простые преобразования не меняют нули, стоящие в правых частях системы уравнений. Потому про -изводим преобразования основной матрицы системы:

˜

Вторую строчку умножим на (-1) и прибавим к первой и тре -тьей строке, получим:

˜ ˜

При помощи Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. первой строчки получим нули в первом столбце, зачем умножим её на (3) и прибавим к 2-ой строке и просто прибавим к третьей строке:

˜ ˜

Умножим вторую строчку на (-2) и прибавим к третьей:

˜ .

Итак, , т.е в решении данной системы 2 базовые переменные и две свободные. Запишем полученную систему:

Из второго уравнения Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке.: , чтоб упростить вычисле –ния, комфортно положить , тогда . Тогда пер -вое уравнение воспринимает вид: . Нужно ввести ещё одну свободную переменную, напри – мер . Тогда . В данном случае, общее решение имеет вид:

.

Любой из векторов:

и

является решением системы. По правде, для вектора :

для вектора :

и неважно какая композиция этих решений Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. также является решением системы, т.е. общее решение начальной однородной системы имеет вид: , а сами векторы об- разуют фундаментальную систему решений данной однород- ной системы линейных уравнений.

2.

Запишем её матрицу:

˜

Умножим первую строчку на (-1) и прибавим к третьей и четвёртой строке:

˜ ˜

Вторую строчку прибавим к третьей:

˜ ˜

Поменяем местами третью Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. и четвёртую строчки:

˜ .

Все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Потому . Неведомых 6. Потому решение системы имеет 4 базовых переменных и 2 свободные. Запишем полученную систему:

Выберем в качестве свободных переменных Тогда из четвёртого уравнения потому что из тре -тьего уравнения , то Из второго уравнения

Из первого уравнения:

Тогда общее решение имеет вид:

Векторы Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. образуют фундаментальную систему реше-ний. Проверьте без помощи других, что любой из этих векторов является решением системы. , т.е. произвольные неизменные.


m-dzhekobson-mbsmirnov.html
m-e-saltikov-shedrin-povest-o-tom-kak-odin-muzhik-dvuh-generalov-prokormil.html
m-e-t-o-d-i-k-a-federalnaya-celevaya-programma-pozharnaya-bezopasnost-v-rossijskoj-federacii-na-period-do-2017goda.html